已知四个不同的点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right), C\left(x_3, y_3\right), D\left(x_4, y_4\right)$ 都在关于 $x$ 的函数 $y=a x^2+b x+c(a, b, c$是常数, $a \neq 0$ ) 的图象上.
（1）当 $A, B$ 两点的坐标分别为 $(-1,-4),(3,4)$ 时，求代数式 $2024 a+1012 b+\frac{3}{7}$ 的值；
（2）当 $A, B$ 两点的坐标满足 $a^2+2\left(y_1+y_2\right) a+4 y_1 y_2=0$ 时, 请你判断此函数图象与 $x$ 轴的公共点的个数, 并说明理由；
（3）当 $a>0$ 时, 该函数图象与 $x$ 轴交于 $E, F$ 两点, 且 $A, B, C, D$ 四点的坐标满足： $2 a^2+2\left(y_1+y_2\right) a+y_1^2+y_2^2=0,2 a^2-2\left(y_3+\right.$ $\left.y_4\right) a+y_3^2+y_4^2=0$ 。请问是否存在实数 $(m>1)$, 使得 $A B, C D, m \cdot E F$ 这三条线段组成一个三角形, 且该三角形的三个内角的大小之比为 $1: 2: 3$ ? 若存在, 求出 $m$ 的值和此时函数的最小值；若不存在, 请说明理由（注： $m \cdot E F$ 表示一条长度等于 $E F$ 的 $m$ 倍的线段）.