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试题 ID 20447
【所属试卷】
考研数学《线性代数》（数一数二数三）共享大题压轴题
设 $A$ 是各行元素之和均为 0 的 3 阶矩阵, $\alpha , \beta$ 是线性无关的三维列向量, 并满足
$$
A \alpha =3 \beta , A \beta =3 \alpha
$$
( I ) 证明矩阵 $A$ 和对角矩阵相似;
(II) 如 $\alpha =(0,-1,1)^{ T }, \beta =(1,0,-1)^{ T }$, 求矩阵 $A$;
(III) 由 (II) 用配方法化二次型 $x ^{ T } A x$ 为标准形,并写出所用坐标变换.
A
B
C
D
E
F
答案：
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解析：
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设 $A$ 是各行元素之和均为 0 的 3 阶矩阵, $\alpha , \beta$ 是线性无关的三维列向量, 并满足<br><br>$$<br>A \alpha =3 \beta , A \beta =3 \alpha<br>$$<br><br>( I ) 证明矩阵 $A$ 和对角矩阵相似;<br>(II) 如 $\alpha =(0,-1,1)^{ T }, \beta =(1,0,-1)^{ T }$, 求矩阵 $A$;<br>(III) 由 (II) 用配方法化二次型 $x ^{ T } A x$ 为标准形,并写出所用坐标变换. <div> </div> <br /> <br /> <b>答案</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div> <br /> <br /> <b>解析</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div>