已知函数 $h(x)=x+\frac{a}{x} \quad(a>0)$ 在区间 $(0, \sqrt{a})$ 上单调递减, 在区间 $(\sqrt{a},+\infty)$ 上单调递增, 现有函数 $f(x)=x+\frac{2}{x}$ 和函数 $g(x)=m x^2-(m-1) x+1$.
(1) 若 $x \in[1,2]$, 求函数 $f(x)$ 的最值;
(2) 若关于 $x$ 的不等式 $g(x) < 3$ 的解集为 $R$, 求实数 $m$ 的取值范围;
(3) 若对于 $\forall x_1 \in[4,6], \exists x_2 \in[1,2]$, 使得 $g\left(x_1\right) \leq f\left(x_2\right)+1$ 成立, 求实数 $m$ 的取值范围.