设某半球体型物体 $A$ 占据空间区域 $\Omega: 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{1-x^2-y^2}$. 密度函数 $\rho(x, y, z)$ 满足

$$
\rho(x, y, z)=4 z+\frac{2}{\pi} \sqrt{x^2+y^2} \iint_{\Omega} \rho(x, y, z) d v .
$$

(I) 求 $\rho(x, y, z)$;
(II) 求 $A$ 的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$.