设二元函数 $f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数,且满足 $f(0,0)=0, f_1^{\prime}(0,0)=1$ 以及对于任意 $x$,都有 $f_2^{\prime}(x, y)>0$.
(I) 设 $\varphi(x)$ 的导函数连续, 当 $x>0$ 时, $\varphi(x)>0$, 且满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi(x)}{x}=0$, 证明: 对所有的 $0 \leqslant \xi \leqslant \varphi(x)$, 都有 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x, \xi)}{x}=1$.
(II) 设 $n>1$, 若当 $x \rightarrow 0^{+}$时, $\int_0^{x^n} d u \int_x^{u^{\frac{1}{n}}} f(t, u) d t$ 与 $1-\cos x^2$ 是同阶无穷小, 求 $n$.