设 $\left\{a_n\right\}$ 为单调增加的无界正项数列, $f(x)$ 为 $\left[a_1,+\infty\right)$ 上的单调增加正值函数, 且 $\int_{a_1}^{+\infty} \frac{ d x}{x f(x)} < +\infty$. 证明:
( I ) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{a_{n+1} f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛;
(II) 若 $a_1=1$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}\left(a_{n+1}-a_n\right)}{a_{n+1}\left(1+a_n\right)}$ 收敛, 且其值小于 $\frac{\pi+1}{2}$.