考虑二阶微分方程 $\sin \theta \frac{ d ^2 y}{d \theta^2}+\cos \theta \frac{ d y}{d \theta}+n(n+1) y \sin \theta=0$.
（I ）令 $x=\cos \theta$ ，将上述方程转化为关于 $y, \frac{d y}{d x}$ 以及 $\frac{ d ^2 y}{d x^2}$ 的二阶微分方程;
（II）设 $u_n(x)=\left(x^2-1\right)^n$ ，其 $n$ 阶导数记为 $p_n(x)$ ，证明 $p_n(x)$ 为第（I) 问中所得方程的一个特解.