设 $A$ 为 3 阶正定矩阵, $\beta , x$ 为 3 维列向量. 考虑二次函数 $f( x )= x ^{ T } A x -2 x ^{ T } \beta$.
(I) 证明: 若 $y _0= A ^{-1} \beta$, 则对任意 3 维列向量 $x , f( x ) \geqslant- y _0^{ T } \beta$.
(II) 求二次函数 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+3 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3-2 x_1-4 x_2-6 x_3$ 的最小值.