设函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，且

$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0, f(x, x)=x, f_x^{\prime}(x, x)=x^3 .
$$


求二重积分 $I=\iint_D\left(f_{x x}^{\prime \prime}(x, x)-f_{y y}^{\prime \prime}(x, x)\right) e^{-y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=0, y=1$ 以及 $y=x$ 围成的有界区域.