已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内四阶可导，且满足:

$$
f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)=f^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)=f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)=0, f^{(4)}\left(\frac{1}{2}\right)>0, f(0)=f(1) < f\left(\frac{1}{2}\right) .
$$


证明:
(1) $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 是极小值.
(2) 存在 $\xi_1, \xi_2 \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)+f^{\prime}\left(\xi_2\right)=0$.
(3) $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内至少有 3 个不同的零点.