设 $A$ 为 3 阶实对称阵, $\xi _1=(a,-2,1)^{ T }$ 是 $A x = 0$ 的解, $\xi _2=(a, a,-3)^{ T }$是 $( A - E ) x = 0$ 的解, 且 $B =\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & -2 & 9\end{array}\right)$ 是正定矩阵.
(I) 求参数 $a$;
(II) 求正交变换 $x = P y$, 将二次型 $f= x ^{ T } B x$ 化为标准形;
（III）当 $x ^{ T } x =2$ 时, 求 $f= x ^{ T } B x$ 的最大值.