设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，且

$$
X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0 .
\end{array}\right.
$$


且 $Z=\frac{\min \{X, Y\}}{\max \{X, Y\}}$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度函数;
(II) 判断 $X$ 和 $Z$ 的独立性, 并说明理由.