设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}=a, g(x)=\left\{\begin{array}{l}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$, 则 ( )。
A
$x=0$ 是 $g(x)$ 的第一类间断点
B
$x=0$ 是 $g(x)$ 的第二类间断点
C
$g(x)$ 在 $x=0$ 的连续性与 $a$ 相关
D
$g(x)$ 在 $x=0$ 的连续
E
F