已知函数 $f(x)=\cos ^2 \frac{\omega x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega>0), x \in R$, 若 $f(x)$ 在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点, 则 $\omega$ 的取值范围是
A
$\left(0, \frac{5}{12}\right]$
B
$\left(0, \frac{5}{12}\right] \cup\left[\frac{5}{6}, \frac{11}{12}\right)$
C
$\left(0, \frac{5}{6}\right]$
D
$\left(0, \frac{5}{12}\right] \cup\left[\frac{5}{6}, \frac{11}{12}\right]$
E
F