函数 $f(u)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内有二阶导数, 记 $g(x, y)=f\left(\frac{x}{y}\right)$,若 $g(x, y)$ 满足 $x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+x y \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}+y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=1$, 且 $g(x, x)=1,\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{(x, x)}=\frac{2}{x}$, 求 $f(u)$.