设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数且 $f(x)= \begin{cases}1, & x \in[0, \pi] ; \\ 0, & x \in(-\pi, 0) .\end{cases}$
(1)求 $f(x)$ 的Fourier展开式, 并分别计算和函数在 $\frac{7 \pi}{2}$ 及 $7 \pi$ 处的值;
(2)求实系数 $A_0, A_1, \ldots, A_{10}$ 和 $B_1, B_2, \ldots, B_{10}$ 使下面的积分:

$$
\int_{-\pi}^\pi\left[(f(x)-g(x))^2+g^2(x)\right] d x
$$


达到最小值, 其中函数 $g(x)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{10}\left(A_n \cos n x+B_n \sin n x\right)$.