我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中, 提出了已知三角形三边长求三角形面 积的公式, 可以看出我国古代已具有很高的数学水平. 设 $a, b, c$ 分别为 $\triangle A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边, $S$ 表示 $\triangle A B C$ 的面积,其公式为 $S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^2 b^2-\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2}\right)^2\right]}$. 若 $b=\sqrt{2}, \frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}$ $=\frac{c}{2 \sin A}$, 则 $\triangle A B C$ 面积 $S$ 的最大值为