已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，点 $P$ 为 $\triangle A M N$ 的外心．
（i）若 $\triangle A M N$ 为等边三角形，求点 $P$ 的坐标；
（ii）若点 $P$ 在直线 $x=-\frac{1}{3}$ 上，求点 $A$ 到直线 $l$ 的距离的取值范围．