已知无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_n=q^n(q \neq 0)$ ．对于集合 $T \subseteq N^*$ ，定义 $S_T$ ：若 $T=\varnothing$ ，则 $S_T=0$ ；若 $T=\left\{t_1, t_2, \cdots, t_k\right\}$ ，则 $S_T=a_{t 1}+a_{t_2}+\cdots+a_{t_k}$ ．
（1）若 $q=2, S_T=26$ ，求集合 $T$ ；
（2）若 $q=2$ ，集合 $A, B \subseteq N^*$ ，且 $S_A+S_B=2^{10}$ ，求 $A \cap B$ 中元素个数的可能值：
（3）若 $0 < q < \frac{1}{2}$ ，集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n \subseteq N^*$ ，对任意的 $i, j \in N^*, 1 \leq i < j \leq n$ ，满足 $A_i \cap A_j=\varnothing$ ，且 $S_{A_1}>S_{A_2}>\cdots>S_{A_n}>0$ ，证明：$\sum_{k=1}^n \frac{S_{A_k}}{S_{A_1}} < \frac{1-q}{1-2 q}$ ．