设 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导．证明：若对任意 $x \in(a, b)$ ，都有 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，则存在 $\xi_1, \xi_2 \in(a, b)$ ，使得

$$
\frac{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}=\frac{a^2+a b+b^2}{a+b} \cdot \frac{2 \xi_1}{3 \xi_2^2} .
$$