设区域 $D$ 由直线 $y=x, y=1$ 和 $x= e$ 围成，二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2}{x y}, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$

（I）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．
（II）设 $a \in[1,2)$ ，记 $p_1(a)=\int_{-\infty}^2 f_{X I Y}(x \mid a) d x, p_2(a)$ 为当 $Y \geqslant a$ 时，事件 $\{X \leqslant 2\}$ 发生的概率，请问 $p_1(a)$ 和 $p_2(a)$ 是否存在最大值？若均存在，则这两个最大值是否相等？