设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\sigma(W)$ 与 $\sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明：
（1） $\operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ．
（2）若 $W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则 $\operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma)$.