二重积分 $\iint_D \frac{(x-a)^2+x y^2}{\sqrt{a^2+x^2+y^2}} d x d y=(\quad)$ ，其中积分区域
$$
D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{a^2-x^2}\right\} .
$$
A
$\frac{2}{3}(\sqrt{2}-1) \pi a^3$
B
$\frac{2}{3}(\sqrt{2}+1) \pi a^3$
C
$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{2}{3}\right) \pi a^3$
D
$\left(\frac{5 \sqrt{2}}{6}-\frac{1}{3}\right) \pi a^3$
E
F