已知 $f(x)$ 是可导的单调递减函数，且 $f(x)>0$ ，记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ．
（1）证明：当 $a>0$ 时，若 $x \in(0, a)$ ，有 $\frac{x}{a} F(a) < F(x) < f(0) x$ ；
（2）若 $f(0) < 1$ ，记 $x_1 \in(0, a), x_{n+1}=F\left(x_n\right), n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．