设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布密度为

$$
p(x y)=\left\{\begin{array}{lr}
24(1-x) y & 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq x \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$

（1）求随机变量 $X$ 与 $Y$ 的边际分布；
（2）若 $X, Y$ 分别为一矩形木板的长与宽，求木板面积的数学期望；
（3）求条件分布密度 $p_{Y Y X}\left(y \left\lvert\, x=\frac{1}{2}\right.\right)$ 。