与三角形的一边以及另两边的延长线都相切的圆称为三角形的旁切圆，其圆心称为旁心．
任一三角形均有三个旁切圆，其中与边 $B C$ 以及 $A B, A C$ 的延长线都相切的称为 $A$－旁切圆。
$\triangle A B C$ 中，$A-$ 旁切圆 $\odot I$ 与边 $B C$ 切于点 $D$ ．若 $A D=2, \triangle A B C$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ ，则 $\overrightarrow{I A} \cdot \overrightarrow{I D}$ 的最小值为 $\qquad$ ．