设数列 $\left\{c_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 满足 $c_m+c_n+c_l=m!+n!+l!$ 对所有两两不同的正整数 $m, n, l$ 均成立．
（1）求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设数列 $\left\{a_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 满足 $a_1>0, c_{n-1} a_{n+1}=a_1 a_2 \cdots a_n+c_n, n \in N ^*$ ．求证：$\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} < \frac{2}{a_1}$ ．