通常记 $\sum_{k=m}^{\infty} f(k)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=m}^n f(k)$ ．如 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k}=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=2$ 。离散型随机变量 $\xi$ 的数学期望定义为 $E(\xi)=\sum_{k \in S} k P(\xi=k)$ ，其中 $S$ 为 $\xi$ 的取值集合．特别地，若 $S=\{m, m+1, \cdots\}$ ， $m \in N ^*$ ，则 $E(\xi)=\sum_{k=m}^{\infty} k P(\xi=k)$ ．

ZB 面前放有三张卡片，上面分别写有 $S , X , Z$ 各一个字母． ZB 每次随机选取一张卡片，记录上面的字母并放回。当 ZB 按次序选到过 $S , X , Z$（不要求相邻）时停止选取．例如，依次选取到 SSXXZ 或 XXSSZXSXSXXZ 时均可以停止选取。
（1）求 ZB 的总选取次数的数学期望；
（2）求证：$\sum_{k=3}^{\infty} C _k^3\left(\frac{2}{3}\right)^k=24$ ．