对底数和指数均含有自变量的函数求导时，常用对数求导法．例如：
$$
\left(x^{\frac{1}{x}}\right)^{\prime}=\left(e^{\frac{1}{x} \ln x}\right)^{\prime}=e^{\frac{1}{x} \ln x}\left(\frac{1}{x} \ln x\right)^{\prime}=x^{\frac{1}{x}} \frac{1-\ln x}{x^2}(x>0) .
$$
设函数 $f(x)=|\sin x|^{\cos x}, g(x)=|\cos x|^{\tan x}, h(x)=f(x)-g(x)$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性和极值；
（2）求 $h(x)$ 在区间 $(-\pi, 2022 \pi)$ 上所有零点之和；
（3）设 $x_1, x_2 \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), f\left(x_1\right)=g\left(x_2\right)$ ．证明：$x_1+x_2 < \frac{\pi}{2}$ ．