椭圆具有奇妙的光学性质：从一个焦点设出的光线，经过椭圆上的一次反射后，反射光线一定经过另一个焦点即：对于椭圆上任一点，它与两焦点的连线和过该点的楠圆切线所夹的角相同．双曲线，抛物线均有类似的光学性质。

一列椭圆 $\left\{\Gamma_n\right\}\left(n \in N ^*\right)$ 满足 $\Gamma_n: \frac{x^2}{a_n^2}+\frac{\left(y-t_n\right)^2}{b_n^2}=1$ 的离心率为定值，其两个焦点均在 $y$轴上， $0 < t_1 < t_2 < \cdots, \Gamma_n$ 与 $\Gamma_{n+1}$ 均外切，且 $\Gamma_n$ 与抛物线 $E: y=x^2$ 相切，$T_n$ 为一个切点．已知 $\Gamma_1$ 的焦距为 $2, \Gamma_2$ 的焦距为 $2(\sqrt{2}+1)$ ．
（1）求 $\Gamma_n$ 的方程；
（2）记 $E$ 的焦点为 $F, \Gamma_n$ 的焦点为 $F_{n 1}$ 和 $F_{n 2}$ ．证明：$\left|F T_n\right|^2=\left|F F_{n 1}\right| \cdot\left|F F_{n 2}\right|$ ；
（3）用足够多与 $\Gamma_{2022}$ 全等的椭圆片均匀地密铺平面（所有椭圆片的长轴平行或共线，且每个椭圆均与相邻的 6 个椭圆外切）．求平面的覆盖率．