设 $\left(X_1, \cdots, X_{100}\right)$ 是来自正态总体 $X$ 的简单随机样本，且 $X$ $\sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ．

$$
\begin{array}{rlrl}
Y_1 & =\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i, Y_2=\frac{1}{10} \sum_{i=11}^{20} X_i, \cdots, Y_{10}=\frac{1}{10} \sum_{i=91}^{100} X_i, \\
\text { 令 } & W & =a\left[\left(Y_2-Y_1\right)^2+\left(Y_4-Y_3\right)^2+\cdots+\left(Y_{10}-Y_9\right)^2\right]
\end{array}
$$


试选取合适的 $a$ ，使得 $W$ 服从 $\chi^2$ 一分布，并且指出所服从 $\chi^2$ 一分布的自由度。