设二维随机向量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为

$$
p(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$


其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态分布的联合密度函数，且它们对应的二维随机向量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ 。它们的边际密度函数所对应的随机变量的数学期望都是 0 ，方差都是 1 。
（1）求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ，及 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 。
（2）问 $X$ 和 $Y$ 是否独立？为什么？
（3）$(X, Y)$ 是否服从二维正态分布？