材料：在现行的数学分析教材中，对＂初等函数＂给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的．如函数 $f(x)=x^x(x>0)$ ，我们可以作变形：$f(x)=x^x=\left( e ^{\ln x}\right)^x= e ^{x \ln x}= e ^t(t=x \ln x)$ ，所以 $f(x)$ 可看作是由函数 $f(t)= e ^t$ 和 $g(x)=x \ln x$ 复合而成的，即 $f(x)=x^x(x>0)$ 为初等函数，根据以上材料：
（1）直接写出初等函数 $f(x)=x^x(x>0)$ 极值点
（2）对于初等函数 $h(x)=x^{x^2}(x>0)$ ，有且仅有两个不相等实数 $x_1, x_2\left(0 < x_1 < x_2\right)$ 满足：$h\left(x_1\right)=h\left(x_2\right)= e ^k$ ．
（i）求 $k$ 的取值范围．
（ii）求证：$x_2^{e^2-2 e} \leq \frac{ e ^{-\frac{e}{2}}}{x_1}$（注：题中 e 为自然对数的底数，即 $e =2.71828 L$ ）