已知函数 $f(x)=x^2\left(\ln x-\frac{3}{2} a\right), a$ 为实数．
（1）当 $a=\frac{2}{3}$ 时，求函数在 $x=1$ 处的切线方程；
（2）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（3）若函数 $f(x)$ 在 $x= e$ 处取得极值，$f^{\prime}(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，且 $f^{\prime}\left(x_1\right)=f^{\prime}\left(x_2\right), x_1 < x_2$ ，证明： $2 < x_1+x_2 < e$ ．