在 $R ^n$ 中已知 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 与 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 为两组基，任一向量 $\alpha$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \cdots, \alpha _n$ 下的坐标为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{ T }$ 。在基 $\beta _1, \beta _2, \cdots, \beta _n$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{ T }$ ，它们之间的关系为

$$
y_1=x_1, y_2=x_2-x_1, y_3=x_3-x_2, \cdots, y_n=x_n-x_{n-1}
$$


求 $R ^n$ 中的基变换公式。