设 $\left\{A_n\right\}$ 和 $\left\{B_n\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为两个集列．
（1）证明：$\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(A_n \cap B_n\right) \subset\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \cap\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right)$ ．
（2）举例说明：$\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(A_n \cap B_n\right) \not \supset\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \cap\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right)$ ．
（3）如果 $\left\{A_n\right\}$ 和 $\left\{B_n\right\}(n=1,2, \cdots)$ 都是单调增的集列，证明：
$$
\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(A_n \bigcap B_n\right)=\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\right) \bigcap\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} B_n\right) .
$$