设 $X$ 为固定的集合，$A \subset X, \chi_A(x)$ 为集合 $A$ 的特征函数．$A, B, A_\alpha, A_n$ 都为 $X$ 的子集．证明：
（1）$A=X \Leftrightarrow \chi_A(x) \equiv 1 ; \quad A=\varnothing \Leftrightarrow \chi_A(x) \equiv 0$ ．
（2）

$$
\begin{aligned}
& A \subset B \Leftrightarrow \chi_A(x) \leqslant \chi_B(x), \forall x \in X \\
& A=B \Leftrightarrow \chi_A(x)=\chi_B(x), \forall x \in X
\end{aligned}
$$

（3）$\chi_{\sigma \in F_a}(x)=\max _{\alpha \in \Gamma} \chi_{A_\alpha}(x) ; \chi_{\sigma \in C_a}(x)=\min _{\sigma \in \Gamma} \chi_{A_\alpha}(x)$ ．
（4）设 $A_n(n=1,2, \cdots)$ 为一集列，则

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} A_n \text { 存在 } \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow+\infty} \chi_{A_n}(x) \text { 存在. }
$$

$$
\chi_{n \rightarrow+\infty} \lim _n(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \chi_{A_n}(x)
$$