设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是线性空间 $R ^3$ 的一组基，

$$
\beta _1=- \alpha _1+2 \alpha _2+2 \alpha _3, \beta _2=2 \alpha _1- \alpha _2-2 \alpha _3, \beta _3=2 \alpha _1-2 \alpha _2- \alpha _3
$$

（I）证明： $\beta _1, \beta _2, \beta _3$ 也是 $R ^3$ 的一组基；
（II）若由向量 $\eta =2 \beta _1+ \beta _2+3 \beta _3$ 在基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 下的坐标 $x_1, x_2, x_3$ 组成的向量 $\xi =\left(x_1, x_2, x_3\right)^{ T }$
是 3 阶矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ -2 & a & 0 \\ 0 & b & 2\end{array}\right)$ 的一个特征向量，求常数 $a, b$ 及 $\xi$ 对应的特征值 $\lambda$ ；
（III）判断 $A$ 能否与对角形矩阵相似？如果能，求可逆矩阵 $P$ 和对角形矩阵 $\Lambda$ ，使得 $P^{-1} A P = \Lambda$ ．