设 $u(x, y), v(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线 $L$ 为 $D$ 的正向边界曲线，证明：
（1） $\iint_D v \Delta u d x d y=-\iint_D(\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v) d x d y+\oint_L v \frac{\partial u}{\partial \vec{n}} d s$ ．
（2） $\iint_D(u \Delta v-v \Delta u) d x d y=\oint_L\left(u \frac{\partial v}{\partial \vec{n}}-v \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\right) d s$ ．
其中 $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ ，称为二维拉普拉斯算子；$\frac{\partial u}{\partial \vec{~}}, \frac{\partial v}{\partial \vec{n}}$ 分别表示 $u, v$ 沿 $L$的外法线向量 $\vec{n}$ 的方向导数，