(深圳中学 2025 届高三二轮三阶测试)设函数 $f(x)=A \sin \frac{\pi x}{2}+g(x), x \in R ($ 其中常数 $A \in R , A>0)$ ，无穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：首项 $a_1>0, a_{n+1}=$ $f\left(a_n\right), n \in N^*$ ．
（1）若 $g(x)=B \sin ^2 \frac{\pi x}{8}, B \in R$ ，试判断函数 $y=f(x)$ 的奇偶性和最小正周期，并说明理由；
（2）若 $g(x)=x$ ，
（1）已知对任意的 $n \in N^*, a_{n+1}>a_n$ ，求证：当 $A < 4$ 时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 不是等差数列；
（2）当 $A=8$ 时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 是否可能为公比小于 0 的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由．