（长郡中学 2025 届高三考前适应性演）设 $a>b>0, m>0$ ，点 $A, ~ F$ 分别是椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的上顶点与右焦点，且 $|A F|=2$ ，直线 $l: x$ $-m y-1=0$ 经过点 $F$ 与 $\Gamma$ 交于 $P, ~ Q$ 两点，$O$ 是坐标原点．
（1）求椭圆 $\Gamma$ 的方程；
（2）若 $m=\sqrt{3}$ ，点 $M$ 是 $x$ 轴上的一点，且 $\triangle M P Q$ 的面积为 $\frac{6}{13}$ ，求点 $M$ 的坐标；
（3）若点 $G$ 在直线 $x=5$ 上，向量 $\overrightarrow{P G}$ 在直线 $l$ 上的投影为向量 $\overrightarrow{P F}$ ，证明 $\angle P G Q < \frac{\pi}{4}$ ．