已知双曲线 $E: \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，右焦点到 $E$ 的一条渐近线的距离为 2 ．
（1）求 $E$ 的方程；
（2）经过点 $P$ 的直线 $l_1, ~ l_2$（斜率都存在）分别与 $E$ 交于点 $A, ~ B$ 和 $C, ~ D, M, ~ N$ 分别为 $A B, ~ C D$ 的中点．
（i）若点 $M(-2,2)$ ，求直线 $l_1$ 的方程；
（ii）若点 $P(-2,0)$ ，且 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}=0$ ，证明：直线 $M N$ 过定点．