【问题呈现】
小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图（1），在等边 $V A B C$ 中，$A B=3$ ，点 $M, ~ N$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ 上，且 $A M=C N$ ，试探究线段 $M N$ 长度的最小值．

【问题分析】
小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题．

【问题解决】
如图（2），过点 $C, ~ M$ 分别作 $M N, ~ B C$ 的平行线，并交于点 $P$ ，作射线 $A P$ ．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题：

（1）证明：$A M=M P$ ；
（2）$\angle C A P$ 的大小为＿度，线段 $M N$ 长度的最小值为 $\qquad$ ．
【方法应用】
某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图（3）．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图（4）， $V A B C$ 是等腰三角形，四边形 $B C D E$ 是矩形，$A B=A C=C D=2$ 米，$\angle A C B=30^{\circ} . M N$是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点 $M$ 在 $A C$ 上，点 $N$ 在 $D E$ 上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持 $A M=D N$ ．钢丝绳 $M N$ 长度的最小值为多少米．