如图所示的四棱锥 $P-A B C D$ 中，$P A \perp$ 平面 $A B C D, B C / / A D, A B \perp A D$ ．
（1）证明：平面 $P A B \perp P A D$ ；
（2）若 $P A=A B=\sqrt{2}, A D=\sqrt{3}+1, B C=2, P 、 B 、 C 、 D$ 在同一个球面上，设该球面的球心为 $O$ ．
（i）证明：$O$ 在平面 $A B C D$ 上；
（ii）求直线 $A C$ 与直线 $P O$ 所成角的余弦值．