已知，如图，矩形 $A B C D$ 中，$A D=3, D C=4$ ，菱形 $E F G H$ 的三个顶点 $E, G, H$ 分别在矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $C D, D A$ 上，$A H=1$ ，连接 $C F$ ．
（1）当点 $G$ 在边 $D C$ 上运动时；探究：点 $F$ 到边 $D C$ 的距离 $F M$ 是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
（2）当 $D G$ 为何值时，$\triangle F C G$ 的面积最小，并求出这个最小值．