如图所示，在菱形 $A B C D$ 中，$A B=6, \angle B A D=120^{\circ}$ ，点 $E, F$ 分别在菱形的边 $B C, C D$ 上滑动，满足 $\angle E A F=60^{\circ}$ ，连接 $E F$ ，且 $E, F$ 不与 $B, C, D$ 重合．
（1）求证：不论 $E, F$ 在 $B C, C D$ 上如何滑动，总有 $B E=C F$ ；
（2）当点 $E, F$ 在 $B C, C D$ 上滑动时，分别探讨四边形 $A E C F$ 的面积和 $\triangle C E F$ 的周长是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最小值．