此题为附加题，总分 8 分。建议考生有充裕时间再解此题。
本题计分原则如下：设考生前 8 道题目的总得分为 $x$ ，此附加题的得分为 $y$ ．若 $x+y \leq 100$ ，则考生的总得分为 $x+y$ ．若 $x+y>100$ ，则考生的总得分为 100 ．

若 $A$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，取 $\gamma$ 为右半平面的一条简单闭曲线（以逆时针方向为正向），且 $\gamma$ 的内部包含 $A$ 的所有特征值。取 $f(z)=\sqrt{z}$ 为定义在 $C \backslash(-\infty, 0]$ 上，且满足在正实轴上取正实值的全纯分支。证明

$$
A^{\frac{1}{2}}=\int_\gamma f(z)\left(z I_n-A\right)^{-1} d z
$$


这是 $I_n$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$\left(z I_n-A\right)^{-1}$ 表示逆矩阵。这里被积函数为矩阵值函数，积分对矩阵的每个元素进行。考生须在解答中说明等式左边的 $A^{\frac{1}{2}}$ 的严格定义。