已知 $\boldsymbol{a}=(\cos x, 2 \cos x), \boldsymbol{b}=(2 \cos x, \sin x), f(x)=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ ．
（1）将函数 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度得到函数 $g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 的单调增区间；
（2）当 $\boldsymbol{a} \neq 0, \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线时，求 $f(x)$ 的值．
（3）求 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的最大值．