设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，满足 $f(0)=0, f(1)=1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leqslant 2, x \in[0,1]$ ，证明：
（I）当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)-x| \leqslant \frac{1}{4}$ ；
（II）若 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)$ ，则当 $x \in[0,1]$ 时，恒有 $|f(x)| \leqslant 2 x-x^2$ ．