已知函数 $f(x)=n x+\ln x\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$ 的图象在点 $\left(\frac{1}{n}, f\left(\frac{1}{n}\right)\right)$ 处的切线的斜率为 $a_{n}$ ，则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 为（ ）
A
$\frac{1}{n+1}$
B
$\frac{3 n^{2}+5 n}{2(n+1)(n+2)}$
C
$\frac{n}{4(n+1)}$
D
$\frac{3 n^{2}+5 n}{8(n+1)(n+2)}$
E
F